透過型回折格子フィルム分光器を用いたスペクトル測定

　これまで、いろいろな講座で、透過型回折格子フィルムを用いた手作り分光器を作ってもらってきた。分光器の概要は下図のようで、大変簡単なものである。まず、黒画用紙で四角い筒を作り、この片方にやはり黒画用紙にハサミで筋状の切り口を入れ、スリットにしたものを貼りつける。もう片側には回折格子フィルムを貼るのである。このとき、講座では、回折格子フィルムが１次回折光の向きに向くように少し傾けて取り付けている。スリットからの直接光が目に入らないようにしたつもりであるが、実際には目に入ってくるので、これはそれほど重要ではない。回折格子フィルム側から光源に向かって分光器を覗くと、そのスペクトルを直視することができるので、スペクトルを簡単に体験することができる。講座では、白熱電球、電球型蛍光灯、ＬＥＤ電球、青空などを見て、そのスペクトルの違いを理解してもらっている。

　今回、目で見たスペクトルをなんとか定量化できないかと考え、回折格子フィルムのすぐ近くにカメラを置いて撮影してみた。その結果が次の写真である。

これは殺菌灯のスペクトルを撮影したものだが、水銀の輝線が綺麗に見える。この写真は、分光器の分解能を見積もるために、できるだけ狭いスリットにしたため、線が途中で途切れたり、歪んだりしているのが見える。この写真をImageJというソフトを用いて、グレースケール強度を求めたものが次の図である。

水銀の輝線に対応するところにはそれぞれの波長を入れてある。写真とは思えないくらいの綺麗なスペクトルが得られていることが分かる。輝線の波長と写真の場所との対応を調べてみると、ほぼ直線的になっているので、その傾きや切片から横軸を波長に換算して示している。さらに、輝線の幅から分解能を見積もると1.3nmになっていることも分かった。

　このように手作り分光器でも写真撮影をすると、結構、それから綺麗なスペクトルが得られることが分かった。しかし、通常、分光器にはスリットから入った光をコリメートさせるための凹面鏡が用意されているのに、この分光器ではそんなものはなく、写真を撮るときにフォーカスを合わせるだけである。それでも、こんな綺麗なスペクトルが得られるのが何となく不思議に思われた。そこで、少し解析してみた。

　光学系としてみると、途中に回折格子があって、やや複雑なので、光線行列という方法を用いて解析してみた。これは光学素子の効果を行列として表す方法である。その概略を上の図に表す。Sは光源で、その像Iが焦点面Fに作られるとする。光源の位置を中心線からの距離 で表す。そこから、光線がの角度で出ているとする。このとき、光線行列では、は十分小さいとして、という近似が成り立つと考える。光線をその位置と傾きを使ってのような座標で表し、これを光線の座標と呼ぶことにする。すると、光源を出た光線が、透過型回折格子Gのところで座標になると考えると、その関係は、

というように行列を用いて表すことができる。

　回折格子からは決まった方向に回折光が放出される。真空中にある透過型回折格子の場合の干渉条件はという式で表される。ここで、は回折角で図のように測っている。、、はそれぞれ回折の次数、光の波長、回折格子の繰り返し周期を表している。これを光線行列で用いている近似で表すと、となる。ここで、は図にあるようにに対応している。そこで、回折格子において回折光に対応する光線の座標をと書き換えることにする。

　その後、光線はレンズで曲げられ、焦点面F上のという座標の点に到達すると考える。このときの関係式は次の通りである。

ここで、行列は右から左へ、だけ光線が移動する効果、焦点距離のレンズで曲げられる効果、だけ移動する効果を表している。この行列を計算することにより、焦点面の光線の座標は

と求めることができる。ここで、、という関係式を用いて、を書き換えると、

となる。

　光源から出た光がどの方向に行こうと、焦点面の一点に収束する条件は、の係数が0になることである。これから、

という収束の条件が求まる。この関係式はレンズの公式、、そのものである。焦点面上の収束点の位置は、従って、

と表すことができる。

　この関係を図に表したものが上図である。つまり、カメラレンズでスリット位置に焦点が合うように調整すれば、同時に回折光の焦点も合うことになる。この時、光線行列の近似の範囲内では、焦点面上での回折光の位置は波長に比例してずれることになる。は固定であるので、レンズの焦点距離が長ければ長いほど、分解能は良くなる勘定であるが、同時に、レンズに入る回折光の波長範囲が限られてくることになる。